Весна

Численные методы в физике

Numerical methods in physics

Аннотация курса

Курс посвящён знакомству с основными численными методами, используемыми в физических задачах, и способам их реализации. В рамках курса рассматривают наиболее часто встречающиеся задачи: интерполяция, численные дифференцирование и интегрирование, решение систем уравнений, поиск экстремума. Особое внимание уделяется численному решению дифференциальных уравнений (задача Коши и краевая задача). Отдельно разбираются основные методы решения уравнений в частных производных.
Занятия проводятся в компьютерном классе

Авторы

Кириллов А.А.
Кириллов Александр Александрович
Ученое звание
Ученая степень
кандидат физико-математических наук
Об авторе

Доцент кафедры №40 "Физика элементарных частиц", Институт ядерной физики и технологий.

Темы курса

1. Введение
Место численных расчетов в физике. Современные подходы к решению научных задач. Краткий обзор математических пакетов, область их применимости, особенности, основные отличия. Аналитические и численные подходы к решению физических задач.
2. Введение в MATLAB
Синтаксис MATLAB. Представление данных в виде матриц. Операции с матрицами. Функции, способы их создания. Циклы. Логические условия. Условные операторы. Построение графиков. Гистограммы.
3. Задача интерполяции - 1
Задача интерполяции. Интерполяция полиномом. Построение интерполяционного полинома с помощью системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Интерполяционные полиномы в форме Лагранжа и в форме Ньютона. Оценка погрешности интерполяции.
4. Задача интерполяции - 2
Чувствительность задачи интерполяции к входным данным. Постоянная Лебега. Неравномерная сетка. Оптимальный выбор сетки. Полиномы Чебышёва.
5. Задача интерполяции - 3
Сплайны. Построение сплайнов Шонберга. B-сплайны.
6. Численное дифференцирование и интегрирование
Численное дифференцирование с помощью интерполяционных полиномов. Погрешность дифференцирования. Численное интегрирование, построение квадратурных формул. Оценка погрешностей. Экстраполяция Ричардсона.
7. Решение уравнений и их систем
Системы линейных алгебраических уравнений. Системы с трёхдиагональными матрицами. Метод прогонки. Сжимающие отображения. Итерационные методы. Системы нелинейных уравнений. Итерационные методы. Метод Ньютона.
8. Задача минимизации
Метод Ньютона. Метод покоординатного спуска. Метод наискорейшего спуска. Минимизация функционала. Метод пробных функций. Метод Ритца.
9. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Задача Коши. Многошаговые методы. Схемы Адамса. Многостадийные схемы Рунге-Кутты. Таблицы Бутчера и их оптимальные значения. Пороги Бутчера. Оценка погрешности методом сгущения сеток (метод Ричардсона).
10. Краевые задачи
Метод стрельбы. Сеточный метод. Методы Ритца и Галёркина.
11. Уравнения в частных производных - 1
Классификация. Корректная постановка. Разностные методы решения уравнений в частных производных. Построение разностных схем. Явные и неявные схемы. Интегро-интерполяционный метод. Метод неопределённых коэффициентов. Метода конечных элементов.
12. Уравнения в частных производных - 2
Разностные схемы для уравнений переноса. Решение задач для гиперболических и параболических уравнений. Многомерные уравнения. Локально-одномерные методы: дробных шагов и переменных направлений.
13. Уравнения в частных производных - 3
Эллиптические уравнения. Итерационные методы. Стационарные решения эволюционных задач. Локально-одномерные схемы.